Плотность распределения времени безотказной работы - Контакты компаний и предприятий на Adresa.top

Плотность
распределения времени безотказной
работы f(t)
— это плотность распределения случайной
величины Т. Она наиболее полно характеризует
Надежность техники в данный момент
(точечная характеристика). По ней можно
определить любой показатель надежности
невосстанавливаемой системы. В этом
состоит достоинство плотности
распределения времени безотказной
работы.

Производная
от вероятности отказа по времени есть
плотность
вероятности, или дифференциальный закон
распределения времени работы объекта
до отказа, т.е.

(5)

Полученная
математическая связь позволяет записать:

;
(6)

Таким
образом, зная плотность вероятности
f(t),
легко найти искомую величину P(t) и Q(t).

Соотношения
(6) имеют место при любом законе
распределения времени возникновения
отказов.

Достоинством
является следующее. Как плотность
распределения вероятности, она наиболее
полно характеризует случайное время
возникновения отказов и по ней легко
определить вероятность безотказной
работы, математическое ожидание,
дисперсию и другие удобные характеристики
распределения.

К
недостаткам плотности
вероятности f(t)
следует отнести то, что она характеризует
надежность аппаратуры до первого отказа.
Оценить с помощью частоты отказа
надежность аппаратуры длительного
пользования, которая может ремонтироваться,
затруднительно. В общем случае надежность
аппаратуры длительного пользования
обычно характеризуется средней частотой
отказа.

Под
частотой отказов элементов понимают
отношение числа отказавших образцов
техники в единицу времени к числу
испытуемых образцов при условии, что
отказавшие образцы не восполняются
исправными:

,
(7)

где
n(t, t+∆t)
– число отказавших образцов за промежуток
времени (t, t+∆t);
N₀ – число образцов,
первоначально поставленных на испытания;
∆t – длина промежутка
времени.

Так как число
отказавших образцов в интервале времени
может
зависеть от расположения этого промежутка
по оси времени, то частота отказов
является функцией времени t.

Соотношение
(7) следует из того, что f(t)=Q’(t)=–P’(t),
а для малых значений ∆t

Если
N(t) – число
исправных образцов к моменту времени
t, а N(t+
∆t) — число исправных
образцов к моменту времени t+∆t,
то

На
практике достаточно часто приходится
определять условную вероятность
безотказной работы объекта в заданном
интервале времени Р(t₁,t₂)
при условии, что в момент времени t₁
объект работоспособен и известны Р (t₁)
и Р (t₂).
По формуле вероятности совместного
появления двух зависимых событий

откуда

(*)

По
известным статистическим данным можно
записать:

(**)

где
N(t₁),
N(t₂)
— число объектов, работоспособных
соответственно к моментам времени t₁
и t_2,т.е.
N(t₁)=N₀— n(t₁);
N(t₂)=N₀— n(t₂).

3. Среднее время безотказной работы (средняя наработка до отказа)

Средним
временем безотказной работы
(средней наработкой
до отказа) T₁называется
математическое ожидание времени
безотказной работы технического объекта
(наработки объекта до первого отказа):

T₁=M(T).

Как математическое ожидание
случайной величины с плотностью f(t),
среднее время безотказной работы
вычисляется по формуле:

Используя
известную связь между f(t), Q(t) и P(t), запишем:

Интегрируя
по частям, получим:

Учитывая,
что Р(0) = 1, P(+)=0,
полагая, что

,
получим:

.
(8)

Таким
образом, средняя наработка до отказа
равна площади, образованной кривой
вероятности безотказной работы P(t) и
осями координат.

Среднее
время безотказной работы является
интегральным показателем надежности.
Его основное достоинство — высокая
наглядность. Недостаток этого
показателя в том, что он, будучи
интегральным, характеризует надежность
техники длительного времени работы.

По
статистическим данным об отказах T₁
определяется по формуле:

(9)

где N_o
— число испытуемых образцов техники (в
начале испытания); t_j
– время безотказной работы j-го образца.

Из выражения
(9) видно, что для определения среднего
времени безотказной работы необходимо
знать времена отказов всех образцов,
над которыми производятся испытания.
Поэтому при большом числе образцов
предпочитают пользоваться формулой

(10)

где n_i(t)
— число образцов, отказавших в i -том
интервале;

—
среднее время i-го интервала ();

t_k—
время, в течение которого отказали все
N₀ образцов;

t
— выбранная величина интервала времени.

Пример. В
процессе эксплуатации приборов одного
типа учитывалось число вышедших из
строя приборов в течении каждых 500 часов
работы, при этом наблюдение велось за
200 одинаковыми приборами (=200).
в результате подсчета отказавших
приборов получены данные, сведенные в
табл.1.

По данным табл.1,
пользуясь формулой (2), определим
вероятность безотказной работы прибора
к любому моменту времени:

Таблица 1.

Количество
отказов приборов в i-ом интервале времени

Воспользовавшись
формулой (4), определим вероятность
отказа приборов, например, для тех же
моментов времени:

Определим также
среднюю наработку до отказа приборов
по формуле (10):

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Как умирает техника? Элементы теории надёжности

Время на прочтение
5 мин

Количество просмотров 55K

Некоторые люди, которые интересуются нашими услугами, задают вопрос: «Серверы, которые вы предоставляете, новые или б/у?» Именно этот вопрос побудил нас немного углубиться в теорию надёжности и рассказать, чем не совсем новый сервер лучше совсем нового, а также какой смысл надписи «Срок службы» в документации к Вашему холодильнику, почему и из каких соображений нужно заранее думать о замене рабочего ноута и некоторые другие интересные вещи.

В случае с серверами переживать заставляет в первую очередь состояние жёстких дисков. Многие убеждены, что если им поставят в сервер новые диски, только что привезённые с завода, они прослужат долго и счастливо. Но не все знают, что на кривой жизненного цикла есть определённый участок, на котором новенькое устройство может умереть так же быстро, как и видавшее виды. К этому мы вернёмся немного позже, а пока…

Немного теории

Теория надёжности (также иногда называется теорией отказов) — научное направление, которое занимается изучением принципов, закономерностей и составлением статистических моделей отказов технических устройств. Она возникла как ответвление от статистики и теории вероятности ещё в XIX веке и первоначально использовалась морскими страховыми компаниями и компаниями по страхованию жизни для оценки, какие тарифы будут прибыльными в реалиях тех времён. В 30-40-х годах XX века были заложены принципы расчёта надёжности энергосистем. С тех пор наука об отказах техники развивается параллельно с самой техникой.

Все технические объекты согласно теории надёжности делятся на восстанавливаемые и невосстанавливаемые. При этом причисление к невосстанавливаемым не обязательно означает полную невозможность ремонта, но также включает случаи, когда такой ремонт экономически нецелесообразен. Например, если в Вашем ноутбуке 3-летней давности окончательно умер аккумулятор вместе с контроллером, и замена будет стоить как треть нового и более современного ноутбука, лучше причислить Ваш старый к невосстанавливаемым и списать в утиль. Это может показаться очевидным, но на практике далеко не все производят соответствующую оценку и делают правильные выводы. Особенно этим грешат владельцы отечественных автомобилей производства 70-80-х годов, которые порой умудряются за несколько лет эксплуатации вкладывать в них денег на стоимость б/у иномарки начала 90-х.

Техническое состояние делится на 5 типов: исправность/неисправность, работоспособность/неработоспособность и предельное состояние. Первые два состояния характеризуют соответствие устройства технической документации, вторые два — способность устройства выполнять свои функции. Некоторые люди путают эти понятия, хотя на практике неисправность не всегда значит неработоспособность. Пример из личной жизни: сдавал на ремонт планшет, по какой-то причине в нём заменили системную плату. Новая плата была из другой серии, и оперативной памяти вместо 512 Мб стало 384 Мб. Планшет, естественно, вполне успешно работает. Но технической документации уже не соответствует, потому принимать из ремонта его как исправный нельзя.

Предельное состояние — это состояние, когда дальнейшая эксплуатация или ремонт являются недопустимыми, невозможными или нецелесообразными. Тут же стоит ввести понятие ресурса — суммарной наработки (продолжительности/объёма работы) устройства до перехода в предельное состояние. В быту ресурс работы часто можно встретить на лампочках-экономках. При этом, естественно, указывается средний ресурс — математическое ожидание, основанное на тестировании продукции.

Схожее с ресурсом, но содержащее в себе больше гипотез понятие — срок службы. По сути оно является попыткой перевести фактический ресурс устройства в какой-то календарный срок, т.е. указывает время, за которое в среднем ресурс будет исчерпан. При расчёте используется информация о том, сколько времени средний общечеловек проводит перед телевизором или сколько раз в неделю стирает вещи.

Существует несколько параметров, количественно описывающих надёжность того или иного устройства. Определяются они, как правило, экспериментально на тестовой партии, иногда с применением экстраполяции, если дождаться отказа всей экспериментальной партии не представляется возможным (например, в случае долгоживущих высоконадёжных устройств).

Вероятность безотказной работы P(t) — вероятность, что за промежуток времени t не откажет ни одно устройство из выборки. Также называется законом распределения надёжности.

Вероятность отказа F(t) — характеристика, противоположная P(t) и показывающая вероятность хотя бы одного отказа до момента времени t. Графически обе функции выглядят примерно так:

Всегда справедливо выражение: P(t) + F(t) = 1.

Плотность распределения безотказной работы называется частотой отказов и вычисляется как производная по времени от вероятности отказа:
a(t) = d F(t) / dt,
а интенсивность появления отказов в единицу времени (или просто интенсивность отказов) λ(t) определяется как соотношение частоты отказов к вероятности безотказной работы:
λ(t) = a(t) / P(t)

График интенсивности отказов выглядит следующим образом:

Кривая делится на 3 зоны: I — этап приработки, II — нормальная эксплуатация, III — старение (износ). На этапе приработки умирают в основном бракованные изделия. И в случае, если в партии устройств много брака, последствия массовой эксплуатации такой партии могут варьироваться от непредсказуемых до катастрофических. В комментариях к статье о том, как люди лишались своих данных, человек рассказывал об опыте использования жёстких дисков из одной бракованной партии в сервере, когда в течение часа один за одним умерли 24 диска.

И тут мы плавно подбираемся к тому, что новые диски, да и любая другая только что сошедшая с конвейера техника, вовсе не являются синонимом безотказности. А заодно к тому, что успешно проработавшая 2-3-5 месяцев техника, скорее всего, прослужит ещё долгие годы (или сколько там ей отведено).

Отдельно стоит рассмотреть этап старения. Считается, что для некоторых устройств и деталей износ практически не характерен. В частности, к ним относят полупроводниковые приборы. Считается, что при предусмотренных стандартами условиях эксплуатации ресурс таких устройств практически вечен. В компьютерной технике к таковым можно отнести процессоры и энергозависимую (оперативную) память. Практика показывает, что с большей вероятностью они отправятся в лучший из миров из-за сбоя по питанию (скачок напряжения или что-либо в этом духе). А вот все известные мне устройства хранения, к сожалению, подвержены старению. В HDD изнашивается механика и осыпаются блины, в SSD изнашиваются ячейки памяти (впрочем, изнашивает их только запись, что существенно облегчает ситуацию, если Вам нужно редко писать и долго хранить), магнитные носители размагничиваются, на оптических блекнет отражающий слой.

Кстати, занятный факт: жизненный цикл живых организмов чем-то похож на жизненный цикл технических устройств. Ниже приведён график зависимости вероятности смерти от возраста на основании реальных статистических данных по США за 2003 год.

Как бы печально и, возможно, даже жестоко это ни звучало, но у людей тоже есть этап приработки, в течение которого уходят в лучший из миров слабые детки.

А что на практике?

А на практике всем нам стоит помнить, что у всего есть свой ресурс и свой срок службы. И мы избавим себя от множества проблем, если будем следить за наработкой устройств как в промышленности, так и в быту. Даже больше это касается быта, т.к. в промышленных масштабах за этим зачастую следят специалисты.

Надеюсь, эта статья поможет кому-то решиться на покупку новой машины или ноутбука, отставив в сторону мысль «у меня ещё старый не рассыпался». Или заставит установить на серверы систему мониторинга «здоровья» жёстких дисков и, видя участившиеся ошибки, произвести замену раньше, чем наступит отказ или предельное состояние.

Источник

Оценка надежности системы и элементов требует введения количественных характеристик. Рассмотрим здесь некоторые из этих характеристик. Для краткости будем определять их применительно к «элементу»; однако те же определения будут относиться и к «системе».

Надежностью элемента (в узком смысле слова) называется вероятность того, что данный элемент в данных условиях будет работать безотказно в течение времени t. Эту вероятность мы будем обозначать Функция называется иногда «законом надежности».

Естественно, с увеличением времени функция убывает (рис. 7.1) При естественно предположить

Ненадежностью элемента называется вероятность того, что элемент откажет (выйдет из строя) в течение времени t. Очевидно,

Рассмотрим время Т безотказной работы элемента как случайную величину. Функция распределения этой случайной величины определяется как

Очевидно, — вероятность того, что за время t элемент откажет — представляет собой не что иное, как ненадежность элемента:

а его надежность дополняет до единицы:

Рис. 7.1

Рис. 7.2

Таким образом, ненадежность обладает свойствами функции распределения неотрицательной случайной величины. Она равна нулю при не убывает при возрастании t и стремится к единице при (рис. 7.2).

На практике обычно вместо функции распределения пользуются ее производной — плотностью распределения или плотностью вероятности:

График плотности показан на рис. 7.3. Площадь, ограниченная кривой равна единице.

Величина — элемент вероятности — истолковывается как вероятность того, что время Т примет значение, лежащее в пределах элементарного участка

В литературе по надежности функцию часто называют «плотностью отказов». Во избежание недоразумений, связанных с нечеткой терминологией, мы будем называть более точно: плотностью распределения времени безотказной работы.

Плотность может быть приближенно определена из опыта, для чего ставится следующий эксперимент: наблюдается работа большого числа N однородных элементов; каждый из них работает до момента отказа. Время, в течение которого работал элемент, регистрируется. Полученные значения времени:

обрабатываются обычными методами математической статистики: строится гистограмма (рис. 7.4) и выравнивается с помощью какой-нибудь плавной кривой, обладающей свойствами плотности.

Ордината гистограммы на каждом элементарном участке времени представляет собой не что иное, как среднее число отказов за единицу времени, приходящееся на один испытанный элемент. Тот же смысл можно приписать и функции Приближенно плотность определяется по формуле

где — число элементов, отказавших на участке времени от t до (время отсчитывается от момента включения); N — общее число элементов; — длина элементарного участка времени.

Рис. 7.3

Рис. 7.4

Пример. Было испытано ламп на длительность безотказной работы. Результаты испытаний приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Найти приближенно плотность для каждого участка времени, построить гистограмму и выровнять (от руки) плавной кривой. Решение. На первом участке (0—10 час) имеем:

на втором

и т. д. Значения плотности приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.5

Гистограмма и выравнивающая кривая приведены на рис. 7.5. Отметим, что плотность изображенная на рис. 7.5, имеет максимум при т. е. максимальная частота отказов приходится на начальный период работы элемента.

Рис. 7.5

Такой характер кривой нередко наблюдается на практике, особенно при работе с электро- и радиодеталями, т. к. они часто имеют тенденцию отказывать немедленно или вскоре после включения. Иногда это повышение плотности в точке t=0 сказывается настолько резко, что заметную долю элементов можно считать отказавшими точно в момент включения. При этом время безотказной работы Т превращается из непрерывной в смешанную случайную величину, у которой одно значение обладает отличной от нуля вероятностью а для других существует только какая-то плотность распределения. Функция распределения такой случайной величины показана на рис. 7.6 — в точке она имеет скачок, равный а при — непрерывна.

Дифференцируя функцию при получим кривую «плотности» (рис. 7.7). Она характерна тем, что ограничивает площадь, равную уже не единице, а При обработке экспериментальных данных в таком случае отбирают в отдельную группу элементы, отказавшие при включении, и отношение их числа к общему числу N испытанных элементов считают за приближенное значение

а для остальных данных строится обычная гистограмма (при этом частоты находятся делением числа наблюдений в разряде на общее число наблюдений ).

В качестве характеристики надежности элемента часто применяется среднее время безотказной работы, т. е. математическое ожидание величины Т:

Рис. 7.6

Рис. 7.7

В случае, если величина Т непрерывна (т. е. ее функция распределения ) не имеет скачка при

Рис. 7.8

Рис. 7.9

В случае, когда Т — смешанная случайная величина, и отдельное значение имеет вероятность

Величина t может быть выражена не через плотность распределения а непосредственно через надежность . Действительно,

Интегрируя по частям, имеем:

Первый член в правой части выражения (2.9) равен нулю, так как для случайной величины Т, у которой существует математическое ожидание, разность при должна убывать быстрее, чем растет t. Поэтому

Эта формула имеет простую геометрическую интерпретацию: среднее время безотказной работы элемента равно полной площади S, ограниченной кривой надежности и осями координат (рис. 7.8).

Очевидно, в случае, когда Т — смешанная случайная величина (значение имеет вероятность ), это правило остается в силе; вся разница в том, что кривая будет начинаться не от 1, а от (рис. 7.9).

Источник

Расчет надежности железобетонных элементов конструкций

Неверова Елена Георгиевна, магистрант;

Гасратова Наталья Александровна, кандидат физико-математических наук, доцент

Санкт-Петербургский государственный университет

В работе приводится анализ надежности железобетонного изделия. В качестве объекта изучения рассматривается железобетонная балка. Исследованы особенности изменения физико-механических свойств бетона во времени. Построена функция надежности железобетонной балки при определенном типе нагружения (изгиб). Для решения поставленной задачи были использованы статистические данные, характеризующие прочность бетона на сжатие и арматуры — на растяжение.

Ключевые слова: надежность железобетонных изделий, функция надежности, расчет железобетонный балки, изгиб, прочность бетона на сжатие, прочность арматуры на растяжение

В современном строительстве одним из основных видов строительных материалов является железобетон. Обладая уникальными свойствами, железобетон позволяет решить множество проблем в строительстве: существенно снизить затраты, обеспечить прочность и долголетие, а также безопасную эксплуатацию конструкции при повышенной влажности, в экстремальных условиях и т. д.

Изучением параметров технических объектов, их закономерностей, анализом состояния и методами повышения работоспособности занимается теория надежности. Если речь идет о надежности строительных конструкций, то возникает необходимость в уточнениях в связи со спецификой изучаемых объектов. Важной особенностью механических систем, т. е. зданий и сооружений, является тот факт, что их надежность определяется надежностью отдельных несущих элементов конструкции, а также существенно зависит от ее структуры в терминах теории надежности (последовательная, параллельная или смешанная).

Определить надежность отдельно взятого элемента конструкции — непростая задача. Для ее решения необходимо предусмотреть множество определяющих факторов [16]. Однако эти факторы не всегда можно проанализировать детерминированными методами, например, точность монтажа конструкции или изменчивость условий изготовления конструкции. Поэтому, в данной работе будут рассмотрены наиболее существенные факторы, влияющие на надежность конструкции, такие как прочностные свойства материала [13,18]. Так, для железобетона необходимо учесть, что бетон — нелинейный материал [14, 19].

Основное требование к расчету надежности конструкции — это обеспечение ее прочности при эксплуатации. Прочность конструкции считается обеспеченной, если во всех поперечных сечениях ее элементов внутренние напряжения меньше предела прочности материала [7].

Произведем расчет надежности для элемента конструкции, одного из наиболее часто используемых в строительстве. Рассматривается балка, лежащая на двух шарнирных опорах, к которой приложена равномерно распределенная нагрузка. Вид нагружения балки — плоский изгиб (рис 1.).

Рис. 1. Расчетная схема

На рис. 1 — пролет балки, — прикладываемая нагрузка.

Расчет надежности элемента конструкции

Надежность строительного объекта — это свойство выполнять заданные функции в течение требуемого промежутка времени [11].

Надежность строительных объектов имеет определенную специфику. В ГОСТ 54257–2010 [1] в качестве основного показателя надежности строительных конструкций и оснований указана невозможность превышения предельных состояний, если на объект оказывает воздействие наиболее неблагоприятное сочетание нагрузок в течение некоторого срока службы.

С точки зрения теории надежности рассматриваемое в данной статье изделие является невосстанавливаемым объектом. Для невосстанавливаемых объектов основными критериями, определяющими надежность, являются [11]:

— вероятность безотказной работы объекта в течение времени ;

— вероятность отказа в течение времени ;

— наработка до отказа;

— плотность распределения времени безотказной работы;

— интенсивность отказа в момент времени .

Поскольку отказ элемента конструкции — это случайное событие, а момент времени до возникновения отказа — случайная величина, то надежность объекта можно описать некоторой функцией распределения продолжительности его безотказной работы , определенной при . Таким образом, на основе данной функции распределения можно получить вероятность безотказной работы объекта в течение времени [11].

При анализе надежности элемента важно определить функцию распределения времени до отказа. Рассмотрим особенности построения функции надежности для решения поставленной задачи.

Вид нагружения балки — плоский изгиб, соответственно, при изгибе образуется сжатая и растянутая зоны. В растянутой зоне арматура работает на растяжение, в сжатой зоне бетон работает на сжатие (рис. 2).

Рис. 2. Растянутая и сжатая зоны балки

Таким образом, необходимо рассмотреть прочностные свойства бетона на сжатие и арматуры — на растяжение [12, 17].

Расчет вероятности отказа ибезотказной работы элемента по прочности бетона на сжатие

Определим надежность бетонной части балки. Для этого рассмотрим изменение прочностных свойств бетона во времени, при этом необходимо учесть случайную природу значения величины прочности бетона.

Статистические данные позволяют проследить изменение прочности бетонного изделия во времени. В [10] приведена статистика данного параметра, а также коэффициент вариации прочности бетона, характеризующий изменчивость (колеблемость) значения случайной величины относительно среднего значения и, соответственно, однородность бетона (таблица 1).

Таблица 1

Изменение прочности бетона во времени

Возраст бетона,

сутки

Количество

образцов, шт.

Среднее значение прочности,

Коэффициент изменчивости,%

180

360

720

190

205

203

113

210

224

241

253

251

16,6

12,2

9,3

12,2

8,3

11,7

Считается, что при нормальных условиях твердения бетон принимает проектную прочность на 28 сутки.

Учитывая предположение о логарифмической зависимости прочности бетона от его возраста, предложенное Б. Г. Скрамтаевым [8], рассмотрим по имеющимся статистическим данным, приведенным в таблице 1, логарифмическую зависимость среднего значения прочности бетона от его возраста.

С помощью средств программы EXCEL построим график изменения прочности бетона во времени, построим линию тренда (аппроксимация и сглаживание) и выведем аппроксимирующую функцию (рис. 3).

Рис. 3. Изменение прочности бетона во времени, аппроксимация логарифмической функцией

Получили функцию, имеющую вид

(1)

Таким образом, предложена новая зависимость прочности бетона от времени. Для практических расчетов такую зависимость целесообразно строить для каждого типа бетона.

Важно отметить, что вывод полученной выше функции изменения прочности бетона во времени (1) учитывает среднюю прочность определенного количества опытных образцов. Так как прочность опытного образца зависит от многих случайных факторов (качество заполнителя, влажность бетона, активность цемента и др.), то прочность каждого образца также является случайной величиной. Чтобы учесть случайную природу данного параметра, в нормах проектирования [4] предлагается использовать следующий способ получения расчетной прочности бетона: нормативная прочность умножается на коэффициенты надежности, определяемые с учетом факторов, влияющих на надежность конструкции, где нормативная прочность указана в нормативных документах для каждой марки бетона.

Во многих источниках [9, 10, 15] авторы, ссылаясь на статистику результатов экспериментов, указывают, что эмпирическое распределение прочности бетона может быть достаточно хорошо описано нормальным законом распределения. Хотя по данному вопросу у разных авторов есть противоречия [10].

Исходя из статистических данных (таблица 1) можно построить функцию распределения случайной величины значения кубиковой прочности бетона на сжатие в каждые сутки. Функция нормального распределения зависит от двух параметров: математического ожидания и среднего квадратического отклонения распределения. Данная функция может быть выражена через функцию Лапласа, значения которой берутся из соответствующей таблицы:

где

Значение параметра известны из Таблицы 1 (столбец 3). Значение параметра также можно вычислить из Таблицы 1 по значениям коэффициентов вариации прочности бетона (столбец 4) по формуле:

(2)

где — коэффициент вариации прочности бетона, и — математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, соответственно.

Исходя из специфики решаемой задачи — расчет балки, подверженной изгибу — в данном параграфе будем рассматривать только предел прочности бетона на сжатие, поскольку растягивающие напряжения принимаются арматурой.

По условию поставленной задачи необходимо, чтобы расчетные сжимающие напряжения не превышали некоторого допускаемого напряжения, то есть расчет проводится по допускаемым напряжениям. Для бетона условие прочности запишем в следующем виде [5, 7]:

(3)

где — наибольшие сжимающие напряжения в бетоне; — допускаемые напряжения сжатия бетона.

Допускаемое напряжение рассчитывается путем деления предела прочности на коэффициент запаса:

(4)

где предел прочности материала на сжатие, определяемые классом (маркой) бетона, — нормативный коэффициент запаса прочности, предписываемый нормами проектирования [3].

Согласно СНиП 2.03.01–84 [3] примем значение коэффициента запаса прочности равным

По данным таблицы 1 можно предположить, что испытанию на кубиковую прочность подвергались образцы бетона марки М200 (класса B15), так как на 28 сутки среднее значение предельной прочности на сжатие составило 210 кг/см². Предельная прочность бетона на сжатие для бетона марки М200 составляет [20].

Рекомендации по определению данного параметра представлены в ГОСТ 8462–85 [2]. Далее по формуле (4) рассчитывается допускаемое напряжение . Считаем, что — фиксированная величина.

(5)

Тогда можно рассчитать, с какой вероятностью прочность бетона не превысит допускаемого значения, то есть условие (3) запишем в виде

В случае нормального распределения вероятность того, что случайная величина примет значения в промежутке может быть вычислена по формуле [6]:

где — математическое ожидание случайной величины , — среднее квадратическое отклонение.

Пусть величина — прочность бетона на сжатие (случайная величина) в каждый момент времени , — средняя прочность бетона на сжатие, значения которой известны из таблицы 1, — среднее квадратическое отклонение из таблицы 1, определяемое по формуле (2). Тогда вероятность того, что прочность бетона будет в пределах вычисляется по формуле:

(6)

Полученная формула позволяет рассчитать вероятность отказа бетонного изделия в момент времени . Тогда вероятность безотказной работы вычисляется по формуле

(7)

По формуле (6) рассчитаем вероятность отказа бетона на сжатие на 28 сутки твердения. По формуле (1) значение равно

(8)

Подставим в (6) соответствующие значения из (5), из (8) и (известное из таблицы 1, причем, для расчета в другой момент времени, для которого нет табличного значения , используют приближенное значение [10]):

(9)

где и принимают табличные значения и по таблице значений функции Лапласа [21].

Из результатов данного расчета видно, что вторая часть в формуле (6) всегда принимает значение или, по крайней мере, стремится к этому значению при больших значениях . Иначе говоря, при расчете надежности бетонов высокой марки, средняя прочность на сжатие которых больше дисперсии не менее чем в пять раз, всегда имеем , так как значение функции Лапласа при значении аргумента [6]. Тогда вероятность отказа будет определяться разницей между значениями и из первого слагаемого в формуле (9).

Найдем вероятность безотказной работы по формуле (7), подставив полученное значение из (9):

Далее рассмотрим прочностные свойства арматуры.

Расчет вероятности отказа ибезотказной работы элемента по прочности арматуры на растяжение

Согласно [10], распределение прочности арматуры чаще всего подчиняется нормальному закону. В [9] приведена гистограмма распределения прочности высокопрочной проволоки.

Данные гистограммы сведем в таблицу (таблица 2).

Таблица 2

Распределение прочности высокопрочной проволоки

Количество

образцов, шт.

Значение прочности арматуры на растяжение ,

165

245

356

447

278

147

5123

5156

5180

5205

5238

5276

5303

5319

5367

5387

5424

Математическое ожидание для данного распределения равно , значение дисперсии , значение среднего квадратического отклонения .

Исходя из данных таблицы 2 можно предположить, что была рассмотрена арматура класса А500 [22].

Условие прочности арматуры на растяжение запишем аналогично (3) в виде

(10)

где — наибольшие растягивающие напряжения в арматуре; — допускаемые напряжения растяжения арматуры, значения которых определены для каждого класса арматура в [22]. Для арматуры класса А500 .

Функция надежности для нормального распределения случайной величины вычисляется по формуле [11]:

где — функция Лапласа, принимающая табличные значения [21], — математическое ожидание случайной величины , — среднее квадратическое отклонение случайной величины от математического ожидания.

Пусть — случайная величина прочности арматуры на растяжение, — математическое ожидание случайной величины , — среднее квадратическое отклонение случайной величины от математического ожидания , — допускаемые напряжения растяжения арматуры. Тогда вероятность безотказной работы арматуры при растяжении рассчитывается по формуле:

(11)

Полученная формула обеспечивает выполнение условия (10).

Рассчитаем вероятность безотказной работы арматуры на растяжение по формуле (11) на примере арматуры, статистические данные для которой представлены в таблице 2.

Исходя из полученного результата, можно сказать, что рассмотренный класс арматуры обеспечивает высокую степень надежности, что можно объяснить достаточным уровнем запаса прочности, установленного в нормах [22]. Из расчетов видно, что чем больше значение дисперсии случайной величины прочности арматуры на растяжение, тем меньше вероятность безотказной работы изделия, и чем меньше разница между математическим ожиданием случайной величины прочности арматуры на растяжение и допускаемым напряжением в арматуре, тем меньше вероятность безотказной работы.

Таким образом, зная вероятность безотказной работы бетона на сжатие (7) и вероятность безотказной работы арматуры на растяжение (11), получим вероятность безотказной работы железобетонной балки, работающей на изгиб (совместное появление двух событий), путем перемножения вероятностей:

(12)

Для примера, рассмотренного в данной работе, вероятность безотказной работы железобетонной балки будет определяться только работой бетона на сжатие, так как вероятность отказа арматуры равна 0, то есть

Расчет критериев надежности , , .

Далее рассмотрим такие критерии надежности, как плотность распределения времени безотказной работы , интенсивность отказа в момент времени и наработку до отказа [11].

Плотность распределения времени безотказной работы

Плотность распределения времени безотказной работы характеризует плотность распределения случайной величины (момент времени до возникновения отказа). Эта величина наиболее полно характеризует надежность конструкции в данный момент эксплуатации. Статистически может быть определено отношением числа отказавших образцов конструкции (в единицу времени) к числу испытуемых образцов при условии, что отказавшие образцы не восполняются исправными:

где — число отказавших образцов в течение промежутка времени , — число испытуемых образцов.

С другой стороны, плотность распределения времени безотказной работы может быть найдена из следующей зависимости:

(13)

Вероятность безотказной работы элемента конструкции может быть вычислена по формуле (12). Перепишем эту формулу в виде:

где , .

Тогда из (13) можно найти плотность распределения времени безотказной работы :

где не зависит от времени;

Тогда

Определим значение данного показателя для железобетонной балки, характеризуемой статистическими данными из таблицы 1, в возрасте 28 суток.

Таким образом, значение плотности распределение времени безотказной работы железобетонной балки в возрасте 28 суток равно . Полученная величина характеризует частоту отказов.

Интенсивность отказов

Интенсивность отказов определяется как отношение плотности распределения (13) времени безотказной работы к вероятности безотказной работы:

Рассчитаем значение на примере рассматриваемой в параграфе балки.

Статистически интенсивность отказов является отношением числа отказавших элементов к среднему числу исправно работающих образцов в течение времени :

где — среднее число исправных образцов в течение времени

Среднее время безотказной работы

Среднее время безотказной работы — это математическое ожидание времени безотказной работы элемента конструкции. Данный параметр можно вычислить, зная вероятность безотказной работы изделия, из следующего соотношения:

Рассчитаем значение для рассматриваемого в данном параграфе примера железобетонной балки:

Полученные результаты показывают, что статистические данные о материалах железобетонного изделия позволяют оценить надежность балки. В рассмотренном примере железобетонной балки, для бетона и арматуры которой была рассмотрена статистика (таблицы 1 и 2), низкий уровень надежности объясняется недостаточной обеспеченностью прочности бетона, тогда как арматура показала свою надежность благодаря большому запасу прочности на растяжение.

Выводы

Таким образом, в статье рассмотрены особенности построения функции надежности для железобетонной балки, лежащая на двух шарнирных опорах, к которой приложена равномерно распределенная нагрузка. Исследованы особенности изменения физико-механических свойств бетона во времени, оценены результаты теоретических исследований на конкретном примере, применен анализ статистических данных о кубиковой прочности бетона на сжатие и о прочности арматуры на растяжение. В результате были выведены формулы для расчета основных критериев надежности железобетонной балки.

Литература:

ГОСТ 54257–2010 «Надежность строительных конструкций и оснований». М., 2011.
ГОСТ 8462–85*. Материалы стеновые. Методы определения пределов прочности при сжатии и изгибе. М., 1985.
Пособие к СНиП 2.03.01–84* Бетонные и железобетонные конструкции. М., 1984.
СНиП 2.01.07–85*. Нагрузки и воздействия. М., 2003.
Аликин В. Н., Литвин И. Е., Сесюнин С. Г., Соколовский М. И., Ушин Н. В. Критерии прочности и надежность конструкций. М: Недра, 2005. 164 с.
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика / Учебное пособие. М: Высшее образование, 2008. 479 с.
Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М: Высшая школа, 1975. 654 с.
Дворкин Л. И., Дворкин О. Л. Основы бетоноведения. СПб: Строй-бетон, 2006. 689 с.
Лычев А. С. Надежность строительных конструкций / Учебное пособие. М: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2008. 184 с.
Лычев А. С., В. П. Корякин. Надежность железобетонных конструкций. Куйбышев: КуИСИ, 1974. 126 с.
Половко А. М., Гуров С. В. Основы теории надежности. СПб.: БХВ-Петербург, 2006. 704 с.
Гасратова Н. А. Решение некоторых классических пространственных задач теории упругости в напряжениях // Молодой ученый. 2014. № 3 (62). С. 1–6.
Гасратова Н. А., Старева И. А. Расчет надежности железобетонных конструкций // Устойчивость и процессы управления. Материалы III международной конференции. 2015. С. 349–350.
Кабриц С. А., Мальков В. М., Мансурова С. Е. Нелинейные уравнения плоского слоя для трех моделей эластомерного материала // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2001. № 1. С. 38.
Каприелов С. А., Травуш В. И., Карпенко Н. И., Шейнфельд А. В., Кардумян Г. С., Киселева Ю. А., Пригоженко О. В. Модифицированные высокопрочные бетоны классов В80 и В90 в монолитных конструкциях, часть 2 // Строительные материалы, № 3, 2008. С. 9–13.
Неверова Е. Г. К вопросу о влиянии наличия трещин на надежность строительных конструкций // Устойчивость и процессы управления. Материалы III международной конференции. 2015. С. 386–387.
Gasratova N. A. Study of building an analytical solution of the axisymmetric problem of linear elasticity in stresses as exemplified by finding the stress-strainstate of an ellipsoid concavity under the inner pressure // ARPN Journal of Engineering and Applied Sciences. 2014. T. 9. № 11. C. 2259–2267.
Gasratova N. A., Stareva I. A. Reliability assessment of reinforced concrete structures // 2015 International Conference “Stability and Control Processes” in Memory of V. I. Zubov (SCP). 2015. P. 378–381
Kabrits S. A., Kolpak E. P. Numerical study of convergence of nonlinear models of the theory of shells with thickness decrease // AIP Conference Proceedings 2015. C. 300005.
Таблица соотношения марок и классов бетона [Электронный ресурс] http://aquagroup.ru/articles/klass-i-marka-betona.html (Дата обращения: 10.04.16).
Таблица значений функции Лапласа [Электронный ресурс]. http://kvm.gubkin.ru/pub/fan/laplasetable2.pdf (Дата обращения: 10.04.16).
Нормативные и расчетные характеристики арматуры [Электронный ресурс]. http://asf.ugntu.ru/pg-06–01/ [zhbk]_harakteristiki_armaturi.pdf (Дата обращения: 10.04.16).

Основные термины (генерируются автоматически): безотказная работа, случайная величина, железобетонная балка, математическое ожидание, прочность бетона, момент времени, вероятность, квадратическое отклонение, плотность распределения времени, сжатие.

Источник