Вычисление раннего времени начала работ сетевой график

2.2. Практическое занятие по структурному планированию

Целью занятия является получение навыков составления сетевых графиков, расчета раннего и позднего времени начала работ, нахождения критического пути.

Форма занятия – практическое занятие с использованием рабочей тетради.

Продолжительность – два академических часа.

2.2.1. Пример составления и расчета сетевого графика

Предположим, что мы составляем проект Внедрение бухгалтерской системы для небольшой бухгалтерии, содержащей порядка 10 рабочих мест.

Этап 1. Составление перечня работ

В результате анализа выделяем перечень работ по проекту и оцениваем их длительность в днях. Результаты заносим в табл.2.4.

Этап 2. Определение взаимосвязей между работами

Для каждой работы из табл.2.4 требуется установить номера тех работ, до окончания которых она не может быть начата. Результат заносится в табл.2.5.

Этап 3. Составление сетевого графика работ

Каждая из работ табл.2.5 на сетевом графике обозначается кружком, в который заносится ее номер. Кружки соединяются стрелками. Стрелка соответствует одному из чисел столбца Предшественники и соединяет работу-предшественник с работой-последователем. Результат изображен на рис.2.9.

Этап 4. Вычисление раннего времени начала работ

В соответствии со схемой, приведенной на рис.2.2 вычисляем раннее время начала работ с учетом их длительностей из табл.2.4 и связей, задаваемых сетевым графиком на рис.2.9. Вычисления начинаются с первой и заканчиваются последней работой проекта. Последовательность вычислений приведена в табл.2.6. Результат показывает, что длительность проекта равна 122 дня.

Этап 5. Вычисление позднего времени начала работ

Используя длительности работ и сетевой график, вычисляем позднее время начала работ. Вычисления начинаются с последней работы проекта, ведутся в обратном порядке и заканчиваются первой работой. Результаты вычислений приведены в табл.2.7.

Этап 6. Вычисление резерва времени работ

Резерв времени равен разнице между поздним и ранним временем начала работ. Занесем в табл.2.8 и значения и разность (резерв).

Этап 7. Нахождение критического пути

Критический путь состоит из работ с нулевым резервом времени. В табл.2.9 они выделены заливкой. Обозначим на сетевом графике критический путь пунктирными стрелками. Результат приведен на pис.2.10.

2.2.2. Задания для самостоятельного выполнения

Задание 1

Вычислить критический путь по сетевому графику, изображенному на рис.2.9 со значениями длительностей работ, приведенными в табл.2.9.

Задание 2

Последовательность работ проекта описывается сетевым графиком, изображенным на рис.2.11. Найти критический путь при условии, что длительности работ заданы одним из вариантов в табл.2.10.

Задание 3

Для проекта Ремонт квартиры выполнить следующие действия:

1. самостоятельно составить перечень работ (не менее 15);
2. самостоятельно оценить длительность этих работ;
3. самостоятельно определить последовательность выполнения работ;
4. построить сетевой график;
5. выполнить расчет раннего и позднего времени начала работ, найти критический путь.

Расчет сетевого графика

Расчетные
параметры СГ:

i—j
–
код
данной работы;

i
–
код
начального события данной работы;

j
–
код
конечного события данной работы;

h
–
i
— код работ, предшествующих данной
работе;

h
–
код событий, предшествующих начальному
событию данной работы;

j—k
–
код
работ, последующих за конечным событием
данной работы;

k
–
код
событий, последующих конечному событию
данной работы;

L
–
путь;

L
кр –
критический
путь;

t
_L

–
продолжительность пути;

T
_L
кр
–
продолжительность критического пути
и критический срок;

t_i—j
–
продолжительность работы;

T^р.н
_i—j
–раннее
начало работы;

T^р.о
_i—j
–раннее
окончание работы;

T_i^p–
ранний
срок свершения события I;

T^п.н
_i—j
–
позднее начало работы i—j;

T^п.о
_i—j
–
позднее
окончание работы i—j;

Tⁿ_j
–

поздний
срок свершения события j;

R
_i—j
–
общий
(полный) резерв времени работы i—j;

r
_i—j
–
частный (свободный) резерв времени
работы i—j;

Общая схема
кодирования работ и события показана
на рис.3.18.

Рис. 3.18. Общая
схема кодирования работ и событий

Расчет
сетевого графика аналитическим путем.
Расчет
времен­ных
параметров СГ может выполняться по
работам или по событиям, как это
будет показано ниже.

Рис. 3.19. Сетевой
график

Расчет
ранних сроков. Ранние
сро­ки
начала и окончания работ и свершения
событий
СГ рассчитывают, начиная от ис­ходного
события последовательно по всем путям
СГ прямым ходом расчета. В резуль­тате
этого расчета кроме ранних сроков
ус­танавливают
также общую продолжитель­ность
работы по графику в целом и по от­дельным
его участкам (рис. 3.19).

Расчет
по работам. Раннее
начало работы T^р.н
_i—j
–
самое
раннее из возможных время
начала работы — определяют продолжительностью
самого длинного пути от
исходного события до начального события
данной работы:

T^р.н
_i-j
=max
t_h-i
(3.1)

Например, для
работы 6-8 (рис. 3.19) раннее начало:

Так
как продолжительность наибольшего пути
1-2, 2-5, 5-6 состав­ляет
16, то работу 6-8 можно начать на 17-й день.
Раннее
окончание работы T^р.о
_i—j
–
время окончания работы (она нача­та
в самый ранний из возможных сроков) –
определяют суммой раннего начала
и продолжительности данной работы:

T^р.о
_i-j=
T^р.н
_i-j+
t_h-i.

(3.2)

Например,
для работы 6-8 раннее окончание:

T^р.о_6-8
=
T^р.н_6-8+t_6-8=16+6=22.

Расчет
по событиям. Ранний
срок свершения начального собы­тия
Т^p_i
определяют
максимальной величиной суммы ранних
сроков свершения предшествующих событий
и продолжительности работ, вхо­дящих
в данное событие:

T^p_i=max{T^p_h+t_h-1}.
(3.3)

Например,

Естественно,
что расчет раннего срока свершения
конечного со­бытия
работы выполняют по той же формуле.

Расчет
поздних сроков. Расчет
поздних сроков окончания и начала работ
сетевого графика и свершения событий
производят после того, как определены
все ранние сроки и общая продолжительность.
Расчет ведут обратным ходом от завершающего
события к исходному последовательно
по
всем путям СГ.

Расчет
по работам. Позднее
окончание работы –

самый поздний из допустимых
сроков окончания работы, при котором
не увеличивается общая
продолжительность работ сетевого
графика.

Позднее
окончание рассматриваемой работы равно
минимально­му из сроков поздних начал
последующих работ:

T^п.о
_{i- j}=
minT^п.н._j-k
(3.4)

Определение
позднего начала через позднее окончание
основано на том,
что расчет ведут от завершающего события,
у которого ранние и поздние сроки
совпадают, т. е. T^р_k
= Tⁿ_k.,
поэтому,
рассчитав ранние сроки работ, мы
установили тем самым и поздний срок
завершающего события:

T^п.о
_j—k
=T_кр=max
T^p.о_j—k
.
(3.5)

Например, для
работы 2-5 позднее окончание:

Позднее
начало работы T^п.н
_i—j
–

самый поздний из допустимых сроков
начала работы, при котором не увеличивается
общая продолжитель­ность
работ. Позднее
начало работы равно разности между
величинами ее позднего
окончания и продолжительности:

T^п.н_2-5
=
T^п.o_i—j
–
t_i—j
. (3.6)

Например, для
работы 2-5 позднее начало:

T^п.н_2-5
=T_2-5
– t_2-5
=15
– 12 = 3.

Расчет
по событиям. Поздний
срок Тⁿ_j
свершения события j
опре­деляется
минимальной величиной из значений
разности поздних сроков свершения
конечных событий k и продолжительности
работ, выходящих из данного
события j:

Tⁿ_i
= min {Tⁿ_k
– t_j-k}.
(3.7)

Например, для
события 5:

Сопоставление
ранних и поздних сроков работ и событий
по­зволяет
рассчитать резерв времени, критический
путь и провести анализ параметров
графика.

Если
ранние и поздние характеристики работ
совпадают, то ра­боты
лежат на критическом пути. Критическими
являются те события, на
которых совпадают ранние и поздние
сроки свершений.

Для
критических работ
соблюдаются
следующие условия:

1. ранние
   и поздние сроки начала работы и
   соответственно их окончания
   равны, т. е.

T^р.н_i—j
= T^п.н._i—j
= T^н_i—j;
T^р.о._i—j
= T^п.о._i—j
=T^o_i—j

(3.8)

или
при расчете по событиям
ранние
и поздние сроки свершения событий,
ограничивающих данную работу,
соответственно равны, т. е.

T^р_i
= T^п_i;
T^р_j
=T^п_j;
(3.9)

2)
разность между возможными сроками
окончания и начала работы
равна
ее продолжительности, т. е.

T^o_i-j
– T^H_i-j=
t_i-j
, (3.10)

или
разность между сроками свершения
конечного и начально­го
событий
равна
продолжительности данной работы, т. е.

T_j
–T_i
= T_i—j
(3.11)

Например,
для критической работы 3-7 первое
условие T^p.н_3-7
=
T^п.н_3-7
=10,
а также T^p.о_3-7
=
T^п.о_3-7
=15
соблюдено. Второе условие:

Общий
(полный) и частный резервы времени для
работ критиче­ского
пути равны нулю. Для
остальных работ определяют различные
ви­ды
резервов времени.

Общий
(полный) резерв времени работы –

это
максимальное вре­мя,
за которое можно задержать начало работы
или увеличить ее про­должительность
без изменения общего срока строительства.
Величина
Ri—j
определяется
разностью поздних и ранних сроков начала
или окон­чания
работы:

R_i—j
= T^п.н_i—j
— T^p.н_i—j
=
T^п.о_i—j
— T^p.о_i—j
,
(3.12)

или

R_i—j
= T^п.о_i—j
—
T^p.н_i—j
–
t_i—j
. (3.13)

Например,
общий резерв времени для работы
4-6
составляет

,

или

,

,

или

,

или
то же самое по
событиям:

R_i-j
= Tⁿ_j
– T^р_i
– t_i-j
,

R_4-6
= Tⁿ₆
– T^p₄
– t_4-6
= 19 – 2 — 4 = 13 (3.14)

Частный
(свободный) резерв времени работы r_i—j
–
максимальное
количество времени, на которое можно
перенести начало работы или
увеличить ее продолжительность без
изменения раннего начала последующих
работ. Оно имеет место, когда в событие
входят две работы и больше, и определяется
разностью значений раннего начала
последующей
работы и раннего окончания данной
работы.

Например,
для
работы 4-6
частный резерв

r_i—j
= T^p.н_j—k
– T^p.o_i—j
,

r_4-6
= T^p.н_6-8
— T^p.o_4-6
= 16 – 6 = 10 , (3.15)

или
в терминах
событий

r_i-j
=T^p_j
–
T^p_i
– t_i-j
(3.16)

Например, частный
резерв времени для той же работы 4-6
составляет

R_4-6
= T^p₆
— T^p₆
– t_4-6
= 16 — 2 – 4 = 10.

Расчет
сети непосредственно на графике. Расчет
непосредствен­но
на графике является самым простым и
быстрым из ручных способов. При
этом способе расчета строгое соблюдение
правила кодирования со­бытий
не обязательно. Для записи результатов
расчета принимают одну из форм,
показанных на рис. 3.20.

Рис.
3.20. Варианты
формы записи результатов расчета: а –

по секторам; б
–

в виде дроби; 1 –

раннее начало работы Б; 2 –

позднее окончание работы А

Расчет
на сети требует проведения только чисто
механических операций
без обращения к формулам (рис. 3.21). Порядок
расчета:

1.
У исходного события под чертой (в
знаменателе) ставят нуль.

2.
Для каждого следующего события в
знаменателе записы­вают
число, равное сумме значения раннего
срока свершения предыдущего события и
продолжительности работы. Так, для
события 2 записывают 2 (0+2=2), для со­бытия
4 –
8
(2+6=8) и т. д.

3.
Если в событие входит две работы или
больше, то рассчитывают
значение каждой из них, записывая над
стрелкой, но в знаменатель
переносят только максимальное значение
из всех
полученных. Например, в событие 5 входят
работы 2-5 и 2-3
(через зависимость). Первый путь дает
значение 2+3=5, второй
–

2 + 5=7. Принимают максимальное 7 и записывают
в знаменатель.
В событие 11 входит четыре работы, из них
записывают
максимальное значение 39.

4.
В завершающем событии значение, записанное
в знаменатель,
определяющее длину критического пути,
переносят над чертой
(в числитель) (рис. 3.22).

5.
Значение числителей определяют, ведя
расчет от завершающего
события к исходному, вычитая из значения
поздних сроков
свершения конечного события
продолжительность предшествующих
им работ. В отличие от расчета ранних
сроков
(знаменатель), если из события выходят
две работы или
более, принимают не максимальное, а
минимальное значение. Например, из
события 7 выходят две работы со значе­ниями
17 и 32; принимают минимальное 17.

6.
Критический путь проходит через события,
в которых значе­ния
в числителе и знаменателе совпадают.
Полный и частный резерв
времени для работ критического пути
равен нулю. На рис.
3.23 дан сетевой график с расчетными
параметрами и показан
критический путь.

7.
Общий резерв времени для любой работы
определяют вычитанием
из значения числителя (конечного события
данной работы)
суммы значений знаменателя (начального
события данной
работы) и ее продолжительности. Так, для
работы 9-10 полный резерв равен 34 (числитель
конечного события) — 21
(знаменатель начального события) — 4
(продолжительность работы)
= 9. Резерв времени события равен разности
значений числителя и знаменателя.
Соответственно для события 10
полный резерв равен 34 (числитель) — 25
(знаменатель) =9.

8.
Частный резерв для любой работы определяют
вычитанием из
значения знаменателя конечного события
данной работы суммы
значений знаменателя начального события
и продол­жительности данной работы.
Для работы 4-8 частный резерв равен
17- (8+8) = 1.

Рис.
3.21. Расчет
ранних начал работ сетевого графика

Рис.
3.22. Расчет
поздних окончаний работ сетевого графика

Рис. 3.23. Сетевой
график

Расчет
сетевого графика табличным методом.
При
расчете СГ события
кодируются в порядке возрастания (табл.
3). Сверху вниз за­полняют три первые
колонки. По порядку номеров рассматривают
каждое событие.
Из первого события выходит работа 1-2,
записывают ее код в гр. 2,
продолжительность, равную 2, –
в гр. 3, а так как предшествующих ей работ
нет, в гр. 1 ставим прочерк.

Из
события 2 выходят три работы: 2-3 с
продолжительностью 5 дн; 2-4
с продолжительностью 6 дн; 2-5 с
продолжительностью 3 дн. Записы­вают
коды работ и их продолжительность в гр.
2 и 3, затем рассматривают работы, входящие
в событие 2. Такой оказывается работа
1-2, так как только эта работа в гр. 2
оканчивается цифрой 2. Начальным событием
этой работы является
событие 1. Номер 1 записывают в гр. 1 для
всех трех работ и т. д. Зависимость вносят
в таблицу с нулевой продолжительностью
(3-5, 7-8).

Если
работа имеет несколько предшествующих
событий, то записывают
все их коды. Работе 5-7 предшествуют
работы 2-5 и 3-5, имеющие
начальные события 2 и 3, их коды 2 и 3
записывают в гр. 1.

В
гр. 4, 5 записывают расчет ранних параметров
работы
–

раннее
начало и раннее окончание. Расчет ведут
от исходного события до завер­шающего.
Для простых событий, в которые входит
только одна работа, раннее начало этой
работы равно раннему окончанию
предшествующей работы.
Раннее окончание работы равно сумме ее
раннего начала плюс продолжительность
данной работы, т. е. данные гр. 4 плюс
данные гр. 3 заносят
в гр. 5.

Раннее
начало исходной работы 1 -2 равно 0 (гр.
4); раннее оконча­ние
работы 1-2 равно 2(0+2). Работе 2-3 предшествует
работа 1-2, для ко­торой
раннее окончание равно 2 (гр. 5). А так как
раннее окончание пред­шествующей
работы равно раннему началу последующей,
число 2 запи­сывают в гр. 4 рассматриваемой
работы 2-3. Прибавив к 2 продолжитель­ность
работы 5 записывают в гр. 5 число 7.

Таблица
3.

Расчет параметров
сетевого графика

Ранние
начала работ 2-4 и 2-5 также
равны 2, так как им предшествует то же
самое событие 2. В гр. 4 против кода этих
работ записывают 2, а в гр. 5 заносят
соответственно 8(2+6)
и 5(2+3). Работам 3-5 и 3-6 также предшествует
только одна работа 2
-3 с цифрой 7 в гр. 5. Переносят 7 в гр.4 и т.
д.

При
рассмотрении сложного события, т. е.
когда ему предшествуют
две работы и более, раннее начало
последующей работы будет равно наибольшему
значению их ранних окончаний предшествующих
работ. В настоящей
таблице работы 5-7, 7-8, 7-11 и 8-9 имеют по две
предшест­вующие работы (см. гр. 1).
Например, работе 5-7 предшествуют работы
2-5
и 3-5 с начальными событиями 2 и 3.

Так
как ранние характеристики работ, в том
числе и работ 2-5 и 3-5,
рассчитаны, остается только сравнить
их величины. Раннее окончание работы
2-5 равно 5, а работы 3-5 равно 7. Большее из
этих чисел 7 перено­сим
в гр. 4 строки работы 5-7, после чего
определяют раннее окончание этой работы:
7+5=12.

В
гр. 6, 7 записывают расчеты поздних
параметров работ
–

позднее начало и позднее окончание.
Расчет ведут в обратном порядке, т. е.
от завершающих работ до исходной снизу
вверх. Для простого события, из которого
выходит только одна работа, позднее
окончание предшествующей работы равно
позднему началу рассматриваемой работы.
Позднее начало данной
работы равно разности между ее поздним
окончанием и продолжительностью.

Для
сложного события, из которого выходит
несколько работ, позднее
окончание предшествующих работ равно
меньшему из поздних начал
рассматриваемых работ. Так, для завершающей
работы 10-11, как и для
других работ, оканчивающихся завершающим
событием сети (событие
11), позднее окончание работ равно
наибольшей величине из всех ранних
окончаний работ, т. е. работе 9-11 (гр. 5).
Это число записывают в гр. 7
работ 10-11 и 9-11. Из гр. 7 вычитают
продолжительность работы (гр. 3) и
получают позднее начало для работы (гр.
6) 10-11, равное 39-5=34, и для работы
9-11, равное 39-18=21.

Работа
9-10 кончается событием 10; таким событием
начинается работа
10-11, ее значение 34 из гр. 5 переносят в
гр. 7 нашей работы. Вы­чтя
из гр. 7 значение гр. 3, записывают в гр.
6 число 30. В этом же порядке продолжают
расчет снизу вверх. При расчете сложных
событий отличие заключается в необходимости
выбора минимального значения из
несколь­ких
возможных. Позднее начало исходной
работы должно быть равно ну­лю.

Гр.
8
–
общий резерв времени определяют как
разность между значениями
гр. 6 и 4 или гр. 7 и 5. Так, для работы 1-2
полный резерв R|_1-2=0(0-0=0)
или 2-2=0; для работы 2-4 R₂—₄=
1(3-2=1) или 9-8=1 и т. д. до конца.

В
гр. 9 записывают частный резерв времени,
который определяют как
разность между ранним началом последующей
работы по гр. 4 и ран­ним
окончанием данной работы по гр. 5.

Работы,
не имеющие общего резерва, естественно,
не имеют и ча­стного
резерва, поэтому в гр. 9 ставят 0 всюду,
где 0 имеется в гр. 8. Пер­вой
работой, имеющей резерв, будет работа
2-4. Для определения раннего начала
последующей работы надо найти в гр. 2
любую работу, начинаю­щуюся
с последней цифры кода нашей работы, т.
е. с цифры 4. Такой бу­дет
работа 4-8, имеющая по гр. 4 раннее начало
8. Раннее окончание на­шей
работы по гр. 5 тоже равно 8, значит,
частный резерв равен

r_2-4
= t^p.н_4-8
–
t^p.o_2-4
=
8-8=0.

Последующей
по отношению к работе 2-5 будет работа
5-7 со зна­чением
раннего начала 7. Раннее окончание работы
2-5 равно 5. Отсюда частный
резерв r_2-5
= 7-5 = 2.

Гр.
10
–

критический путь при табличном методе
расчета лежит на работах,
общий резерв времени которых равен 0.
Отмечаем знаком «+» работы,
лежащие на критическом пути. К таким
работам относятся все, имеющие 0 в гр.
8. На графике критический путь должен
представлять со­бой
непрерывную последовательность работ
от начального события до конечного.

Анализируя
таблицу, мы получаем сведения о длине
критического пути,
ранних и поздних началах и окончаниях
каждой из работ, общих и частных
резервах времени.

Для организации разработки большое распространение получил метод сетевого планирования и управления. Для выполнения работ по заданной теме сетевая модель разбивается на отдельные чётко определенные работы и отражает логическую взаимосвязь и параметры всех работ и событий разработки. Планирование работ с применением сетевого метода осуществляется в следующей последовательности:

Этап 1. Составление перечня работ

Этап 2. Определение взаимосвязей между работами

Этап 3. Составление сетевого графика работ

Этап 4. Вычисление раннего времени начала работ

Этап 5. Вычисление позднего времени начала работ

Этап 6. Вычисление резерва времени работ

Этап 7. Нахождение критического пути

Этап 1. Составление перечня работ

В результате анализа выделяем перечень работ по проекту и оцениваем их длительность в днях. Результаты заносим в табл.1.

Этап 2. Определение взаимосвязей между работами

Для каждой работы из табл.1. требуется установить номера тех работ, до окончания которых она не может быть начата. Результат заносится в табл.2.

Этап 3. Составление сетевого графика работ

Каждая из работ табл.2. на сетевом графике обозначается кружком, в который заносится ее номер. Кружки соединяются стрелками. Стрелка соответствует одному из чисел столбца Предшественники и соединяет работу-предшественник с работой-последователем. Результат изображен на рис.1.

Этап 4. Вычисление раннего времени начала работ

В соответствии со схемой, приведенной на рис.1. вычисляем раннее время начала работ с учетом их длительностей из табл.1. и связей, задаваемых сетевым графиком на рис.1. Вычисления начинаются с первой и заканчиваются последней работой проекта. Последовательность вычислений приведена в табл.3. Результат показывает, что длительность проекта равна 122 дня.

Этап 5. Вычисление позднего времени начала работ

Используя длительности работ и сетевой график, вычисляем позднее время начала работ. Вычисления начинаются с последней работы проекта, ведутся в обратном порядке и заканчиваются первой работой. Результаты вычислений приведены в табл.4.

Этап 6. Вычисление резерва времени работ

Этап 7. Нахождение критического пути

Критический путь состоит из работ с нулевым резервом времени. В табл.2.9 они выделены заливкой. Обозначим на сетевом графике критический путь пунктирными стрелками. Результат приведен на pис.2.